Теоремы площадей фигур. Площадь прямоугольника Площадь многоугольника и его свойства

Теорема 1.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Докажем что площадь S квадрата со стороной a равна a 2 . Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n равных квадратов так, как показано на рисунке 1. геометрия площадь фигура теорема

Рисунок 1.

Так как сторона квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна. Сторона каждого маленького квадрата равна, т.е. равна а. Из этого следует, что. Теорема доказана.

Теорема 2.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (рис.2.):

S = a * h.

Пусть ABCD - данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности угол A острый (рис.2.).

Рисунок 2.

Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE * AD. Отрезок AE - высота параллелограмма, опущенная к стороне AD , и, следовательно, S = a * h. Теорема доказана.

Теорема 3

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту (рис.3.):

Рисунок 3.

Доказательство.

Пусть ABC - данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке (рис.3.1.).

Рисунок 3.1.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, Теорема доказана.

Теорема 3.1.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (рис 3.2.).

Рисунок 3.2.

Доказательство.

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы B лежала на положительной полуоси C x , а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h=b sin C. Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 4.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту (рис.4.).

Рисунок 4.

Доказательство.

Пусть ABCD - данная трапеция (рис.4.1.).

Рисунок 4.1.

Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA.

Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников.

Площадь треугольника ACD равна площадь треугольника ABC равна. Высоты AF и CE этих треугольников равна расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно, . Теорема доказана.

Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятия площадей используются во многих профессиях. Они применяются в строительстве, проектирование и во многих других видах деятельности человека. Из этого можно сделать вывод,что без развития геометрии, в частности понятий о площадях, человечество не смогло бы такой большой прорыв в области наук и технике.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 2
2

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
a · b · sin α

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,

Самыми древними понятиями в развитии мировой геометрии являются понятия площадей многих прямолинейных фигур, в том числе: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, и трапеции. Еще в 7 веке до нашей эры площадь прямоугольника умели вычислять египтяне. Они умножали длину на ширину.

Вавилонская арифметика и алгебра тоже были достаточно развиты, об этом свидетельствуют найденные при раскопках клинописные таблички. Вавилонская геометрия имела представление о пропорциональности отрезков, которые пересекались параллельными прямыми, а также о теореме Пифагора и даже вычислении объемов и площадей некоторых фигур. При этом вавилоняне под пространственными фигурами принимали конкретные предметы из быта. Например, при строительстве круглых зданий, они длину окружности приблизительно вычисляли по ее трем диаметрам. Площадь прямоугольника они высчитывали количеством пройденных шагов. Видимо для того времени такие определения значений были вполне приемлемыми. Такая прикладная геометрия была характерна для многих народов мира и широко использовалась в решении разных спорных бытовых вопросов.

Выдающийся ученый своего времени Архимед, доказывая теоремы о площадях фигур, использовал метод исчерпывания. На самом деле, это не что иное, как косвенное доказательство, которое начинают от противного. Основная идея метода Архимеда состоит в том, что вовнутрь фигуры, площадь которой ищут, нужно вписать правильные фигуры. Используя варианты метода исчерпывания, выдающийся ученый смог доказать многие теоремы.

Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

S = ab

Итак, мы имеем прямоугольник, у которого две стороны - a и b . Площадь прямоугольника - S . Докажем, что S = ab .

Превратим наш прямоугольник в квадрат. Для этого увеличим его сторону b до длины стороны a

В итоге у нас получилось четыре квадрата. Мы знаем, что площадь квадрата равна (a + b) 2 . В то же время эти квадраты составлены из двух прямоугольников: одного прямоугольника с площадью S и такого же прямоугольника с такой же площадью, а также двух квадратов, у которых площади a 2 и b 2 . Исходя из того, что наш четырехугольник состоит не из одного четырехугольника, а из нескольких, то его площадь будет равна сумме всех площадей данных четырехугольников. Это выходит из свойства площадей.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.