Стоячие волны образуются в результате интерференции двух встречных плоских волн одинаковой частоты ω и амплитуды А.
Представим себе, что в точке S (рис.7.4) находится вибратор, от которого вдоль луча SO распространяется плоская волна. Достигнув преграды в точке О, волна отразится и пойдёт в обратном направлении, т.е. вдоль луча распространяются две бегущие плоские волны: прямая и обратная. Эти две волны когерентны, так как рождены одним и тем же источником и, накладываясь друг на друга, будут интерферировать между собой.
Возникающее в результате интерференции колебательное состояние среды и называется стоячей волной.
Запишем уравнение прямой и обратной бегущей волны:
прямая - 
; обратная - 
где S 1 и S 2 – смещение произвольной точки на луче SO. С учётом формулы для синуса суммы результирующее смещение равно
Таким образом, уравнение стоячей волны имеет вид
(7.17)
Множитель cosωt показывает, что все точки среды на луче SО совершают простые гармонические колебания с частотой . Выражение называется амплитудой стоячей волны. Как видно, амплитуда определяется положением точки на луче SO (х).
Максимальное значение амплитуды будут иметь точки, для которых
Или (n = 0, 1, 2,….)
откуда , или 
(7.18)
пучностями стоячей волны .
Минимальное значение , равное нулю, будут иметь те точки для которых
Или 
(n = 0, 1, 2,….)
откуда или 
(7.19)
Точки, имеющие такие координаты, называют узлами стоячей волны . Сопоставляя выражения (7.18) и (7.19), видим, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами равно λ/2.
На рисунке сплошной линией изображено смещение колеблющихся точек среды в некоторый момент времени, пунктирной кривой – положение этих же точек через Т/2. Каждая точка совершает колебания с амплитудой, определяемой её расстоянием от вибратора (х).
В отличие от бегущей волны в стоячей волне не происходит переноса энергии. Энергия просто переходит из потенциальной (при максимальном смещении точек среды от положения равновесия) в кинетическую (при прохождении точками положения равновесия)в пределах между узлами, остающимися неподвижными.
Все точки стоячей волны в пределах между узлами колеблются в одинаковой фазе, а по разные стороны от узла – в противофазе.
Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.
Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.
Рассмотрим более подробно отражение волн.В частности, отражение волн от среды с большим волновым сопротивлением. По существу, вторая средаявляется преградой. Например, воздух и стена здания.
Запишем уравнения падающей и отраженной волн в виде
| s 1 = А cos ( w t - kx) , s 2 = А cos ( w t + kx + j 0 ) . |
(7.47) |
В отраженной волне y 2 записана начальная фаза j 0 , равная разности фаз рассматриваемых колебаний, которая может принимать 0 или p , т.к. при отражении фаза результирующейволны может изменяться.
Падающая и отраженная волны отличаются направлением скорости распространения, поэтому перед волновым числом в уравнении (7.47) взят знак “+” При отражении от преграды происходит сложение волн (наблюдается явление интерференции) и возникает стоячая волна, уравнение которой имеет вид
Из уравнения (7.48) заключаем, что в каждой точке стоячей волны наблюдается колебание такой же частоты и периода, но амплитуда волны зависит от координаты х.
Проведем анализ уравнения (7.49).
1. Условие максимума
Фаза амплитуды стоячей волны равна целому числу p , т.е.
Где m =0, 1, 2, ...или
.
Найдем координату максимума(пучности ):
|
(7.50) |
Для простоты полагаем значение начальной фазы равной нулю. При таких условиях амплитуда стоячей волны максимальна: , т.к.cos (m p ) =1.
2. Условие минимума
Фаза амплитуды стоячей волны равна нечетному числу p /2:
или
.
С учетом того, что j 0 /2=0,для координаты минимума (узел) имеем
 ;
|
(7.51) |
Свойства стоячих волн
1. Расстояние между узлом и пучностью равно l /4:x пуч - х узел = l /4.
2. Расстояние между соседними узлами или пучностями -l /2, т.е. длина стоячей волны l ст = l /2.
Читателю предлагается самостоятельно проверить результаты выводов по пп.1 и2.
3. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты Х, рассматриваемой колеблющейся частицы среды. В стоячей же волне все частицы среды между двумя узламисовершают колебания с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (сифазны), потому что аргумент cos (w t + j 0 /2) в уравнении стоячей волны (7.48) не зависит от координаты Х. При переходе через узел фаза колебаний (j = w t + j 0 /2) изменяется скачком на p , т.к.при этом в амплитуде стоячей волны сомножитель cos (kx + j 0 /2) изменяет свой знак на противоположный.
4. Если волна отражается от среды с большим волновым сопротивлением (неверно говорить “при отражении от более плотной среды”, как это пишут иногда) фаза изменяется на противоположную. При этом происходит потеря половины длины волны, потому что на расстоянии, равном половине длины волны, фаза изменяется на ± p . Поэтому после подстановки в уравнение стоячей волны (7.48), например, при значении j = - p будем иметь
s =2 А sin (kx) sin(w t).
Можно найти координаты узлов и пучностей. Предоставляем проделать это читателю самостоятельно.
Поскольку механические волны являются следствием возникновения деформаций в среде, вызванных источником упругих волн, то относительная деформация среды изменяется по закону
| e = = - 2Aksin(kx+ j /2) с os( w t+ j /2), |
(7.52) |
где s - смещение волны; e - относительная деформация среды.
При этом скорость колебания частиц среды в стоячей волне
| v = = - 2A w cos(kx+ j /2)sin( w t+ j /2). |
(7.53) |
Следовательно, в стоячей волне e опережаетскорость по фазе на p /2. Поэтому, когда скорость достигает максимума, относительная деформация e обращается в нуль, и наоборот, когда скорость обращается в нуль, относительная деформация e достигаетмаксимума.
Причем амплитуда скорости v a = ½ 2 A w cos ( kx + j 0 /2) ½
и амплитуда относительной деформации смещения e a = ½ 2 Aksin ( kx + j 0 /2) ½
зависят от координаты х по-разному, т.е. в пучностях стоячей волны размещаются пучности скорости и узлы деформаций среды, а в узлах стоячей волны - узлы скорости и пучности деформаций.
В упругой стоячей волне энергия периодически переходит из потенциальной, которая локализована вблизи пучностей деформации, в кинетическую энергию, локализованную вблизи пучностейскорости и, наоборот.
Таким образом, энергия периодически перемещается от пучностей к узлам и, наоборот от узлов к пучностям. Но в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю. Поэтому среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, т.к. две бегущие навстречу друг другу волны, образуют стоячую волну и переносят за период равную энергию в противоположных направлениях.
Собственные (резонансные) частоты стоячих волн
На практике в случае свободных колебаний некоторыхфизических систем, например, струн, столбов газа и др. устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т.е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами данной колебательной системы.
Например, в точках закрепления струн или стержней размещаются узлы смещения (пучности деформаций), а на свободных концах стержней - пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях воздушного столба в цилиндрической трубке у закрытого конца трубки размещается пучность давления, а у открытого - узел давления.
В качестве примера рассмотрим возникновение стоячих волн при изменении натяжения колеблющейся струны (параметрический резонанс).
Частоты стоячих волн называют собственными или резонансными , т.к. такие колебания сопровождаются резонансными явлениями.
В отличие от пружинного, математического, или физического маятников, которые при колебаниях имеют одну собственную резонансную частоту (одна степень свободы), натянутая струна имеет много резонансных частот. Эти частоты в свою очередь кратны низшей частоте. Более продолжительное время сохраняются те волны, которым соответствуют резонансные частоты. В точках закрепления струны возникают узлы(рис. 7.12).
Рис. 7.12
Для нахождения резонансных частот воспользуемся тем, что длина стоячей волны связана с длиной самой струны:
гдеm = 1, 2, 3, ... и определяет число гармоник.
Например, основной тон (мода) - первая гармоника соответствует пучности, а длина струны ,(m =1; l 1 - длина волны первой гармоники).Для второй гармоники - 2 = l 2 ( m =2; l 2 - длина волны второй гармоники), для третьей - 3 = 2 l 3 /3 (m =3; l 3 - длина волны третьей гармоники) и т.д.
Частоты колебания стоячей волны можно найти по формуле
Замечание: Стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний.
Действительно по условию при отсутствии колебаний на правом конце закрепленной струны, где координата х =, а амплитуда обращается в нуль и фаза равна j = p ,
А
ст
=2
А
½
cos(kx-
p
/2)
½
Общий
вывод:
Полученный результат является
необычным для классической физики, потому что k и
w
, .
Наблюдаемое аномальное явление весьма существенно повлияло на разгадку квантовых явлений.
Согласно выводам квантовой теории следует, что все микрообъекты обладают корпускулярными и волновыми свойствами.
Стоячей называется волна, возникающая при наложении (суперпозиции) двух встречных плоских волн одинаковой амплитуды и поляризации. Стоячие волны возникают, например, при наложении двух бегущих волн, одна из которых отразилась от границы раздела двух сред.
Найдем уравнение стоячей волны. Для этого предположим, что плоская бегущая волна = сДх, t) с амплитудой А и частотой со, распространяющаяся в положительном направлении оси х, складывается со встречной волной?, 2 = О той же амплитуды и частоты. Уравнения этих волн запишем в тригонометрической форме следующим образом:
где Cj и %2 смещения точек среды, вызванные волнами, распространяющимися в положительном и отрицательном направлениях оси Ох соответственно. Согласно принципу суперпозиции волн в произвольной точке среды с координатой х в момент времени 1 смещение с, составит % + или % = A cos(co/ - кх) + + A cos(co t + кх).
Используя известное из тригонометрии соотношение
, получим:
В этом выражении имеются два тригонометрических члена. Первый (cos(Atjc)) - это функция только координаты и может рассматриваться как амплитуда стоячей волны, изменяющаяся от точки к точке, т.е.
Так как амплитуда колебаний - величина существенно положительная, в последнем выражении поставлен знак модуля. Второй множитель в (2.183) - (cos(k>0) зависит только от времени и описывает гармоническое колебательное движение точки с фиксированной координатой х. Таким образом, все точки среды совершают гармонические колебания с различными (зависящими от координаты) амплитудами. Как видно из формулы (2.184), амплитуда стоячей волны в зависимости от координаты х изменяется от нуля до 2А. Точки, в которых амплитуды колебаний максимальны (24), называются пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуды колебаний равны нулю, называются узлами стоячей волны (рис 2.25).
Найдем координаты узлов стоячей волны. Для этого запишем очевидное равенство |24cos(&x)| = 0, отсюда cos кх = 0. Для того чтобы последнее равенство имело место, необходимо выполнение условия
, где п =
0, 1, 2,.... Заменив к
его выражением через длину волны, получим Отсюда находим координаты
Рис. 2.25. Стоячие волны «мгновенные фотографии» в разные моменты времени I, отстоящие на четверть периода Т колебаний:
Светлые кружки
изображают частицы среды, колеблющиеся в поперечной стоячей волне. Разной длины стрелки - направление и величину (длина стрелки) их скорости
Соответственно можно определить и координаты пучностей стоячей волны. Для этого следует принять 12A cos (foe) I = 24. Откуда следует, что координаты точек, колеблющихся с максимальной амплитудой, должны удовлетворить условию Заменив к
на , получим выражение для координат пучностей:
Расстояния между соседними узлами или соседними пучностями (они одинаковы) называют длиной стоячей волны. Как видно из выражений (2.185) и (2.186), это расстояние равно , т.е.
Пучности и узлы сдвинуты по оси х друг относительно друга на четверть длины волны.
На рисунке 2.25, а за х = 0 выбрана точка пучности при п = 0 (2.186). За t = 0 принят момент, когда колебания всех точек среды проходят через точку равновесия, где смещения всех точек % в стоячей волне равны нулю, график волны - прямая линия. Однако в этот момент каждая точка (кроме точек, расположенных в узлах, где смещение и скорость всегда равны нулю) обладает определенной скоростью, показанной на рисунке стрелками разной длины и пунктирной огибающей. При t - Т/4 (рис. 2.25, б) смещения достигнут максимума, волна изображается непрерывной синусоидой, но скорость каждой точки среды станет равной нулю. Момент времени t= Т/ 2 (рис. 2.25, в) снова соответствует прохождению равновесия, но скорости всех точек направлены в противоположную сторону. И так далее (рис. 2.25, гид, где повторяется случай, показанный на рис. 2.25, а).
Рис. 2.26. Отражение волны от границы раздела разных сред: а - более плотной;
6 - менее плотной
Сравним бегущую и стоячую волны. В плоской бегущей волне колебания всех точек среды, имеющих разные координаты х, происходят с одинаковой амплитудой, но фазы колебаний различны и повторяются через Ах = X или At - Т. В стоячей волне все точки (от узла до узла) совершают колебания в одной фазе, но амплитуды их колебаний различны. Точки среды, разделенные узлом, совершают колебания в противофазе. Таким образом, стоячие волны энергию вдоль направления х не переносят.
В качестве модели стоячей волны можно рассмотреть поперечные колебания мягкого жгута, закрепленного с одного конца. Моделью плотной границы на этом конце жгута (рис. 2.26, а справа) является фиксация узла стоячей волны. Моделью подвижной (менее плотной) границы является тонкий невесомый шнурок, соединяющий конец жгута с закреплением (рис. 2.26, б также справа). Анализ условий отражения волны в этих двух случаях показывает, что при отражении от более плотной среды (см. рис. 2.26, а) волна «теряет» половину длины волны, т.е. при таком отражении происходит изменение фазы колебаний на л. Отражение от менее плотной среды не сопровождается изменением фазы, поэтому у границ раздела двух сред (на рис. 2.26, б в месте соединения жгута со шнурком) всегда будет пучность.
Стоячие волны образуются при наложении двух одина-ковых волн, бегущих навстречу друг другу. Все, наверное, ви-дели стоячие волны в гитарных струнах. Когда в каком-либо месте оттягивают и отпускают струну, в разные стороны на-чинают разбегаться упругие поперечные волны, которые за-тем отражаются от концов струны и, накладываясь друг на друга, образуют стоячие волны (если при распространении и отражении нет затухания). Как это происходит?
При сложе-нии двух синусоидальных волн с одинаковыми частотой и ам-плитудой, но распространяющихся в разных направлениях оси x, получаем возмущение, которое описывается функцией
F(x, t) = f 0 sin(ωt — kx + φ 1) + f 0 sin(ωt + kx + φ 2) = 2 f 0 cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2) + (φ 1 + φ 2) / 2).
Это и есть уравнение стоячей волны . В каждой точке стоя-чей волны колебания осуществляются по гармоническому закону:
F(x, t) = F 0 sin (ωt + (φ 1 + φ 2) / 2.
Амплитуда колеба-ний
| F 0 | = 2 f 0 | cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2)|
зависит от координа-ты x . В точках, где kx + Δφ / 2 = (n + 1 / 2)π (n — целое чис-ло, Δφ = φ 1 — φ 2), амплитуда F 0 = 0. Такие точки называют узлами стоячей волны , колебания в них отсутствуют. Точ-ки, для которых амплитуда колебаний | F 0 | = 2 f 0 максималь-на, называют пучностями стоячей волны . Расстояние Δx между соседними узлами (или соседними пучностями) рав-но половине длины бегущих волн, из которых образовалась стоячая волна:
Δx = π / k = λ / 2.
В точках между двумя соседними узлами колебания проис-ходят в одинаковой фазе, а амплитуда изменяется от нуля до максимума (в пучности, которая расположена посереди-не между узлами) и опять до нуля. Материал с сайта
При переходе через узел фаза колебаний изменяется на π, так как меняется знак F 0 . В стоячей волне возмущение сре-ды обращается в нуль одновременно во всех точках, и одно-временно во всех точках возмущение достигает максималь-ного по величине значения. Так, звучащая струна через каждый полупериод выпрямляется, а через четверть перио-да после выпрямления принимает «наиболее изогнутую» форму.
Если наблюдать колебания только в одной точке, то невозможно сказать, какая волна — бегущая или стоя-чая — вызвала эти колеба-ния. Но если следить за ко-лебаниями в нескольких точках, то картины колеба-ний в бегущей и стоячей волнах будут совершенно различны. В плоской бегу-щей волне колебания в разных точках происхо-дят с одинаковой амплиту-дой, но в различных фазах. В стоячей волне колебания в разных точках происхо-дят с разными амплитуда-ми, но в одинаковой фазе. Поэтому при наблюдении «целой картины» спутать бегущую и стоячую волны, конечно, невозможно.
6.1 Стоячие волны в упругой среде
Согласно принципу суперпозиции, при распростране-нии в упругой среде одновременно нескольких волн воз-никает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды являются векторной сум-мой колебаний, которые совершали бы частицы при рас-пространении каждой из волн в отдельности.
Волны, создающие колебания среды, разности фаз меж-ду которыми в каждой точке пространства постоянны, на-зываются когерентными .
При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что в одних точ-ках пространства волны усиливают друг друга, а в других точках – ослабляют. Важный случай интерференции наб-людается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой . Возникающие при этом колебания называют стоячей волной . Чаще все-го стоячие волны возникают при отражении бегущей вол-ны от преграды. При этом падающая волна и отраженная навстречу ей волна при сложении дают стоячую волну.
Получим уравнение стоячей волны. Возьмем две плос-кие гармонические волны, распространяющиеся навстечу друг другу вдоль оси X и имеющие одинаковую частоту и амплитуду :
где – фаза колебаний точек среды при про-хождении первой волны;
– фаза колебаний точек среды при про-хождении второй волны.
Разность фаз в каждой точке на оси X не будет зави-сеть от времени, т.е. будет постоянной:
Следовательно, обе волны будут когерентными.
Возникшее в результате сложения рассматриваемых волн колебание частиц среды будет следующим:
Преобразуем сумму косинусов углов по правилу (4.4) и получим:
Перегруппировав множители, получим:
Для упрощения выражения выберем начало отсчета так, чтобы разность фаз и начало отсчета времени , чтобы и сумма фаз была равна нулю: .
Тогда уравнение для суммы волн примет вид:
Уравнение (6.6) называется уравнением стоячей вол-ны . Из него видно, что частота стоячей волны равна частоте бегущей волны, а амплитуда, в отличие от бегу-щей волны, зависит от расстояния от начала отсчета :
С учетом (6.7) уравнение стоячей волны принимает вид:
Таким образом, точки среды колеблются с частотой , совпадающей с частотой бегущей волны, и амплитудой a , зависящей от положения точки на оси X . Соответственно, амплитуда изменяется по закону косинуса и имеет свои максимумы и минимумы (рис. 6.1).
Для того, чтобы наглядно представить расположение минимумов и максимумов амплитуды заменим, согласно (5.29), волновое число его значением:
Тогда выражение (6.7) для амплитуды примет вид
Отсюда становится видно, что амплитуда смещения мак-симальна при , т.е. в точках, координата кото-рых удовлетворяет условию:
Отсюда получаем координаты точек, где амплитуда сме-щения максимальна:
Точки, где амплитуда колебаний среды максимальна, называются пучностями волны .
Амплитуда волны равна нулю в точках, где . Координата таких точек, называемых узлами волны , удов-летворяет условию:
Из (6.13) видно, что координаты узлов имеют зна-чения:
На рис. 6.2 показан примерный вид стоячей волны, от-мечено расположение узлов и пучностей. Видно, что со-седние узлы и пучности смещения отстоят друг от друга на одно и то же расстояние.
Найдем расстояние между соседними пучностями и уз-лами. Из (6.12) получаем расстояние между пучностями:
Расстояние между узлами получаем из (6.14):
Из полученных соотношений (6.15) и (6.16) видно, что расстояние между соседними узлами, как и между сосед-ними пучностями, постоянно и равно ; узлы и пуч-ности сдвинуты относительно друг друга на (рис. 6.3).
Из определения длины волны можно записать выра-жение для длины стоячей волны: она равна половине дли-ны бегущей волны:
Запишем, с учетом (6.17), выражения для координат уз-лов и пучностей:
Множитель , определяющий амплитуду стоя-чей волны, меняет свой знак при переходе через нулевое значение, вследствие чего фаза колебаний по разные сто-роны от узла отличается на . Следовательно, все точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в про-тивофазе. Все точки, находящиеся между соседними уз-лами, колеблются синфазно.
Узлы условно разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются незави-симо. Никакой передачи движения между областями нет, и, значит, перетекания энергии между областями нет. То есть нет передачи возмущения вдоль оси . Поэтому волна называется стоячей.
Итак, стоячая волна образуется из двух противополож-но направленных бегущих волн равных частот и амп-литуд. Векторы Умова каждой из этих волн равны по мо-дулю и противоположны при направлению, и при сложе-нии дают ноль. Следовательно, стоячая волна энергии не переносит.
6.2 Примеры стоячих волн
6.2.1 Стоячая волна в струне
Расмотрим струну длиной L , закрепленную с обоих кон-цов (рис. 6.4).
Расположим вдоль струны ось X таким образом, чтобы левый конец струны имел координату x=0 , а правый – x=L . В струне возникают колебания, описываемые урав-нением:
Запишем граничные условия для рассматриваемой стру-ны. Поскольку её концы закреплены, то в точках с коор-динатами x=0 и x=L колебаний нет:
Найдем уравнение колебаний струны исходя из запи-санных граничных условий. Запишем уравнение (6.20) для левого конца струны с учетом (6.21):
Соотношение (6.23) выполняется для любого времени t в двух случаях:
1. . Это возможно в том случае, если коле-бания в струне отсутствуют (). Данный случай инте-реса не представляет, и мы его рассматривать не будем.
2. . Здесь фаза . Этот случай и позволит нам получить уравнение колебаний струны.
Подставим полученное значение фазы в граничное условие (6.22) для правого конца струны:
Учитывая, что
из (6.25) получим:
Снова возникают два случая, при которых выполняется соотношение (6.27). Случай, когда колебания в струне от-сутствуют (), мы рассматривать не будем.
Во втором случае должно выполняться равенство:
а это возможно, только когда аргумент синуса кратен це-лому числу :
Значение мы отбрасываем, т.к. при этом , а это означало бы или нулевую длину струны (L=0 ) или вол-новое число k=0 . Учитывая связь (6.9) между волновым числом и длиной волны видно, что для того, чтобы вол-новое число равнялось бы нулю, длина волны должна бы быть бесконечной, а это означало бы отсутствие колебаний.
Из (6.28) видно, что волновое число при колебаниях струны, закрепленной с обоих концов, может принимать только определенные дискретные значения:
Учитывая (6.9), запишем (6.30) в виде:
откуда волучаем выражение для возможных длин волн в струне:
Другими словами, на длине струны L должно уклады-ваться целое число n полуволн:
Соответствующие частоты колебаний можно опреде-лить из (5.7):
Здесь – фазовая скорость волны, зависящая, соглас-но (5.102), от линейной плотности струны и силы на-тяжения струны :
Подставив (6.34) в (6.33), получим выражение, описы-вающее возможные частоты колебаний струны:
Частоты называют собственными частотами стру-ны. Частоту (при n = 1):
называют основной частотой (или основным тоном ) струны. Частоты, определяемые при n>1 называются обертонами или гармониками . Номер гармоники равен n-1 . Например, частота :
соответствует первой гармонике, а частота :
сответствует второй гармонике, и т.д. Поскольку струну можно представить в виде дискретной системы с беско-нечным числом степеней свободы, то каждая гармоника является модой колебаний струны. В общем случае коле-бания струны представляют собой суперпозицию мод.
Каждой гармонике соответствует своя длина волны. Для основного тона (при n= 1) длина волны:
соответственно для первой и второй гармоники (при n= 2 и n= 3) длины волн будут:
На рис.6.5 показан вид нескольких мод колебаний, осуществляемых струной.
Таким образом, струна с закрепленными концами реа-лизует в рамках классической физики исключительный случай – дискретный спектр частоты колебаний (или длин волн). Таким же образом ведет себя упругий стер-жень с одним или обоими зажатыми концами и колебания воздушного столба в трубах, что и будет рассмотрено в последующих разделах.
6.2.2 Влияние начальных условий на движение
непрерывной струны. Фурье-анализ
Колебания струны с зажатыми концами помимо дис-кретного спектра частот колебаний обладают еще одним важным свойством: конкретная форма колебаний струны зависит от способа возбуждения колебаний, т.е. от на-чальных условий. Рассмотрим подробней.
Уравнение (6.20), описывающее одну моду стоячей вол-ны в струне, является частным решением дифференциаль-ного волнового уравнения (5.61). Поскольку колебание стру-ны складывается из всех возможных мод (для струны – бес-конечное количество), то и общее решение волнового уравнения (5.61) складывается из бесконечного числа частных решений:
где i – номер моды колебаний. Выражение (6.43) записа-но с учетом того, что концы струны закреплены:
а также с учетом связи частоты i -й моды и ее волнового числа:
Здесь – волновое число i -й моды;
– волновое число 1-й моды;
Найдем величину начальной фазы для каждой моды колебаний. Для этого в момент времени t=0 придадим струне форму, описываемую функцией f 0 (x) , выражение для которой получим из (6.43):
На рис. 6.6 показан пример формы струны, описывае-мой функцией f 0 (x) .
В момент времени t=0 струна еще покоится, т.е. ско-рость всех ее точек равна нулю. Из (6.43) найдем выраже-ние для скорости точек струны:
и, подставив в него t=0 , получим выражение для скорос-ти точек струны в начальный момент времени:
Поскольку в начальный момент времени скорость рав-на нулю, то выражение (6.49) будет равно нулю для всех точек струны, если . Из этого следует, что на-чальная фаза для всех мод тоже равна нулю (). С учетом этого выражение (6.43), описывающее движение струны, принимает вид:
а выражение (6.47), описывающее начальную форму стру-ны, выглядит как:
Стоячая волна в струне описывается функцией, перио-дичной на интервале , где равна двум длинам струны (рис. 6.7):
Это видно из того, что периодичность на интервале означает:
Следовательно,
что и приводит нас к выражению (6.52).
Из математического анализа известно, что любая пе-риодическая функция может быть разложена с высо-кой точностью в ряд Фурье:
где , , – коэффициенты Фурье.
В нашем случае, когда функция является периодичес-кой на интервале , коэффициенты Фурье, согласно , рассчитываются как:
В математике в курсе Фурье-анализа показано, что по-лученные таким образом коэффициенты Фурье для разло-жения периодической функции фактически и явля-ются коэффициентами разложения функции f 0 (x).
Фурье-анализ позволяет разложить колебание, совер-шаемое струной в спектр, т.е. выяснить, какие моды ко-лебаний действительно имеют место при данном способе возбуждения струны.
Рассмотрим два способа возбуждения колебаний струны.
Способ 1. Струне в начальный момент времени прида-ется форма, соответствующая первой моде колебаний и описываемая функцией:
После того, как струна отпускается, она начинает со-вершать колебания из начального положения. Расчеты по-казывают, что коэффициенты Фурье для этого случая все равны нулю, кроме одного, который равен амплитуде A :
При таком способе возбуждения возникает только одна мода колебаний; никаких обертонов нет.
Способ 2. Струна отводится от положения равновесия посередине, как это происходит в струнных инстру-ментах. Вид начальной формы представлен на рис. 6.8.
Форма струны, изображенная на рис. 6.8, описывается функцией:
Функция, соответствующая (6.64), и которая является пе-риодической на интервале , записывается следую-щим образом:
При , (6.65)
Вид периодической функции (6.65) показан на рис.6.9:
Расчеты показывают, что все коэффициенты Фурье для такой функции равны нулю (включая и коэффициент ). Первые три коэффициента A 1 , A 2 , A 3 соответственно равны:
Как уже отмечалось, полученные таким образом коэф-фициенты Фурье для разложения периодической функ-ции фактически и являются коэффициентами разло-жения функции f 0 (x).
Тогда, с учетом трех первых слагаемых ряда Фурье, функция (6.64) может быть приближенно представлена следующим образом:
Мы нашли только три первых члена Фурье-разложения функции (6.64). Конечно, полученный нами ряд Фурье (6.69) при конечном количестве членов, в нашем случае равном трём, может воспроизвести исходную функцию лишь при-ближённо. Однако, вычисления коэффициентов Фурье могут быть продолжены. Получится, что при рассматриваемом на-ми случае колебаний в струне возникает много гармоник (теоретически, бесконечный ряд гармоник).
Сравнивая первый и второй рассмотренные случаи, мы видим, что в первом из них была только одна мода, а во втором возникает много гармоник.
Таким образом, рассмотренные случаи показывают, что конкретная форма колебаний струны, зажатой с двух сторон, существенно зависит от способа возбуждения ко-лебаний, т.е., от начальных условий.
Loading...